[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ciągu, rozważanego w przestrzeni F(M), nie należy do tej przestrzeni. Przestrzeń F(M) jest wówczas niezupełna, ale
znamy metodę, pozwalającą tę przestrzeń uzupełnić, czyli dołączyć do niej wszystkie brakujące granice ciągów
reperów. Granice te tworzą brzeg Cauchy'ego przestrzeni F{M).
I teraz krok ostatni. Okazuje się, że wykorzystując działanie grupy strukturalnej wiązki, można w pewien sposób
zrzutować brzeg Cauchy'ego przestrzeni F(M) do poziomu czasoprzestrzeni M. Otrzymujemy w ten sposób
zrzutowany brzeg oznaczamy go przez " bM dołączony do czasoprzestrzeni M. Jest to właśnie b-brzeg Schmidta.
Każda niezupełna krzywa przyczynowa w czasoprzestrzeni niezależnie od tego, czy jest to krzywa geodezyjna, czy
ograniczonego przyspieszenia definiuje pewien punkt b-brzegu, ale jeden punkt b-brzegu może być definiowany
przez więcej niż jedną krzywą (więcej krzywych może się urywać w tym samym punkcie b-brzegu).
Kryzys
Konstrukcję Schmidta, wkrótce po jej ogłoszeniu, teoretycy prawie jednomyślnie uznali za najlepszą z
dotychczasowych definicji osobliwości. Nie tylko była ona wystarczająco ogólna (obejmowała wszystkie znane typy
osobliwości), ale również z matematyczną elegancją łączyła sens fizyczny. Z fizycznego punktu widzenia wiązkę
reperów nad czasoprzestrzenią należy interpretować jako odpowiednio ustrukturalizowany zbiór wszystkich możliwych
lokalnych układów odniesienia, powiązanych ze sobą przekształceniami Lorentza, a przecież właśnie to jest
naturalnym środowiskiem teorii względności. Jednakże z konstrukcją Schmidta od początku łączyła się pewna
trudność. Wyliczenie b-brzegu dla konkretnych czasoprzestrzeni było zadaniem bardzo skomplikowanym. W swojej
pracy Schmidt przetestował zaproponowaną przez siebie definicję osobliwości na przykładzie kilku sztucznie
skonstruowanych czasoprzestrzeni (tego rodzaju czasoprzestrzenie kosmologowie często nazywają modelami
zabawkowymi). Panowało wszakże przekonanie, że gdy wreszcie uda się przezwyciężyć rachunkowe trudności, to
okaże się, że definicja Schmidta stosuje się także do realnych przypadków.
Istotny postęp osiągnięto dopiero kilka lat po opublikowaniu artykułu Schmidta. Niemal równocześnie ukazały się
dwie inne prace, których autorami byli B. Bosshard i R. A. Johnson. Zapoczątkowały one kolejny kryzys związany z
zagadnieniem osobliwości. Obydwaj ci autorzy za przedmiot badań wzięli dwa bardzo ważne w teorii względności
rozwiązania: zamknięty model kosmologiczny Friedmana i rozwiązanie Schwarzschilda. Nie zdołali wyliczyć b-
brzegów dla tych rozwiązań, ale udało im się udowodnić pewne twierdzenia na ich temat. Wyniki obydwu prac były
identyczne i... niezwykle zaskakujące. Okazało się mianowicie, że b-brzeg zarówno zamkniętego modelu Friedmana.
jak i czasoprzestrzeni Schwarzschilda składa się z jednego punktu, który w dodatku nie jest oddzielony w sensie
Hausdorffa od czasoprzestrzeni tych rozwiązań. Wynika stąd, że osobliwości nie da się "unieszkodliwić", odpowiednio
izolując ją od regularnych obszarów czasoprzestrzeni. Jeszcze bardziej bulwersująca jest pierwsza własność odkryta
przez Bossharda i Johnsona, zwłaszcza w przypadku zamkniętego modelu Friedmana. W zamkniętym modelu
Friedmana bowiem istnieją dwie osobliwości początkowa i końcowa i jeżeli stanowią one ten sam (i jedyny) punkt
b-brzegu, oznacza to, że początek Wszechświata jest równocześnie jego końcem! W połączeniu z niespełnieniem
warunku Hausdorffa znaczy to tyle, że czasoprzestrzeń zamkniętego modelu Friedmana ze swoim b-brzegiem pod
względem topologicznym redukuje się do jednego punktu!
W naszych dalszych rozważaniach ważną rolę odegra nie tylko wynik badań Bossharda i Johnsona, lecz również
metoda, za której pomocą ten rezultat osiągnięto. Otóż w wypadku zamkniętego modelu Friedmana obydwaj uczeni
skonstruowali krzywą łączącą osobliwość początkową z osobliwością końcową. Istotne jest jednak to, że krzywa ta nie
leżała w czasoprzestrzeni, lecz w przestrzeni reperów nad czasoprzestrzenią, czyli w przestrzeni totalnej wiązki.
Następny krok polegał na udowodnieniu, że długość tej krzywej wynosi zero. A zatem osobliwość początkowa i
końcowa się pokrywają.
Rys. 4.3. Osobliwość początkowa l końcowa w zamkniętym modelu Friedmana stanowią jeden punkt b-brzegu.
Nastąpił gorączkowy okres poszukiwań jakiegoś rozwiązania. Zaproponowano kilka ulepszeń konstrukcji
Schmidta. Jedne okazały się za mało ogólne (nie obejmowały wszystkich czasoprzestrzeni z osobliwościami), inne
zbyt skomplikowane lub po prostu nieskuteczne. %7łałując, że taka elegancka konstrukcja nie spełniła pokładanych w
niej nadziei, teoretycy powoli o niej zapominali. Ponieważ jednak brzeg czasoprzestrzeni jest konstrukcją pożyteczną
nie tylko w badaniu problemu osobliwości, zaczęto coraz częściej nawiązywać do zaproponowanego już wcześniej
przez Gerocha, E. H. Kronheimera i Penrose'a przyczynowego brzegu czasoprzestrzeni. Do skonstruowania tego
brzegu służą krzywe przyczynowe oraz stożki świetlne i, choć ideologicznie jest on przejrzysty, również niezwykle
trudno daje się wykorzystać do praktycznych obliczeń. Początkowo przyczynowy brzeg czasoprzestrzeni nie miał
służyć do definiowania osobliwości, ale teraz, gdy zaszła potrzeba, Penrose przystosował go do pełnienia także i tej
funkcji. Przyjemnie jest wiedzieć, że osobliwości można opisać w eleganckim, teoretycznym jeżyku przyczynowego
brzegu czasoprzestrzeni, ale konstrukcja ta nie stała się skutecznym narzędziem w badaniach osobliwości. W
dziedzinie tej nadal osiągano interesujące, choć nie rewelacyjne wyniki, ale uwaga badaczy zwracała się raczej ku
osobliwościom w poszczególnych rozwiązaniach niż ku ogólnym twierdzeniom. Po pracach Boss-harda i Johnsona
oraz po kilku nieudanych próbach zaradzenia trudnościom związanym z konstrukcją Schmidta dało się zaobserwować
zmęczenie zagadnieniem osobliwości. Tym bardziej że z czasem zaczęły rosnąć nadzieje na stworzenie kwantowej
teorii grawitacji. Jeżeli, jak się spodziewano, prawa rządzące skwantowaną grawitacją wyeliminują osobliwości z
historii Wszechświata, to zniknie główna motywacja zajmowania się tym problemem. Zagadnienie osobliwości coraz
częściej rezerwowano dla matematyków, poszukujących nie-trywialnych przykładów dla wyostrzenia metod geometrii
różniczkowej. Geometria różniczkowa jest bardzo piękną dziedziną matematyki i zapewne nie było dziełem
przypadku, że właśnie dzięki niej pojawiły się perspektywy dalszego postępu.
ROZDZIAA 5
DEMIURG I GEOMETRIA
Jak wyjść z kryzysu?
Zaproponowana przez Schmidta konstrukcja b-brzegu czasoprzestrzeni uchodziła za elegancką, ale od początku
była naznaczona pewną skazą. Schmidt usiłował tę słabość przezwyciężyć za pomocą eleganckich matematycznych
zabiegów, lecz jak się okazało, nie zdołał tego uczynić. Skaza polegała na tym, że zarówno czasoprzestrzeń, jak i
wiązka reperów nad czasoprzestrzenią są gładkimi rozmaitościami, czyli jak mówią matematycy należą do
kategorii gładkich rozmaitości, podczas gdy w osobliwościach właśnie ta struktura struktura gładkiej rozmaitości
(por. rozdział 2) się załamuje. Czy w ogóle da się stworzyć poprawną teorię osobliwości, nie wykraczając poza
kategorię gładkich rozmaitości?
W fizyce teoretycznej od dłuższego czasu wyczuwa się potrzebę wyjścia poza gładkie rozmaitości. Na przykład
próby kwantowania pola grawitacyjnego w wielu swoich wersjach sprowadzają się do kwantowania czasoprzestrzeni i
[ Pobierz całość w formacie PDF ]